GLM

Gerak Melingkar adalah gerak suatu benda yang membentuk lintasan berupa lingkaran mengelilingi suatu titik tetap. Agar suatu benda dapat bergerak melingkar ia membutuhkan adanya gaya yang selalu membelokkan-nya menuju pusat lintasan lingkaran. Gaya ini dinamakan gaya sentripetal. Suatu gerak melingkar beraturan dapat dikatakan sebagai suatu gerak dipercepat beraturan, mengingat perlu adanya suatu percepatan yang besarnya tetap dengan arah yang berubah, yang selalu mengubah arah gerak benda agar menempuh lintasan berbentuk lingkaran Turunan dan integral Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan diferensiasi. \int \omega\ dt = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \omega = \frac{d\theta}{dt} \int \alpha\ dt = \omega \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d\omega}{dt} \int \int \alpha\ dt^2 = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2} Hubungan antar besaran sudut dan tangensial Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui R\! khusus untuk komponen tangensial, yaitu \theta = \frac{r_T}{R}\ \ , \ \ \omega = \frac{v_T}{R}\ \ , \ \ \alpha = \frac{a_T}{R} Perhatikan bahwa di sini digunakan r_T\! yang didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu r_T \approx |\overrightarrow{r}(t+\Delta t)-\overrightarrow{r}(t)|\! untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit. Jenis gerak melingkar Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman kecepatan sudutnya \omega\!, yaitu: gerak melingkar beraturan, dan gerak melingkar berubah beraturan. Gerak melingkar beraturan Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak melingkar dengan besar kecepatan sudut \omega\! tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi kecepatan tangensial v_T\! dengan jari-jari lintasan R\! \omega = \frac {v_T} R Arah kecepatan linier v\! dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial v_T\!. Tetapnya nilai kecepatan v_T\! akibat konsekuensi dar tetapnya nilai \omega\!. Selain itu terdapat pula percepatan radial a_R\! yang besarnya tetap dengan arah yang berubah. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu menunjuk ke pusat lingkaran. a_R = \frac {v^2} R = \frac {v_T^2} R Bila T\! adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran penuh dalam lintasan lingkaran \theta = 2\pi R\!, maka dapat pula dituliskan v_T = \frac {2\pi R} T \! Kinematika gerak melingkar beraturan adalah \theta(t) = \theta_0 + \omega\ t dengan \theta(t)\! adalah sudut yang dilalui pada suatu saat t\!, \theta_0\! adalah sudut mula-mula dan \omega\! adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya). E. Gerak melingkar berubah beraturan === Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut \alpha\! tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial a_T\! (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial v_T\!). \alpha = \frac {a_T} R Kinematika GMBB adalah \omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \! \theta(t) = \theta_0 + \omega_0\ t + \frac12 \alpha\ t^2 \! \omega^2(t) = \omega_0^2 + 2 \alpha\ (\theta(t) - \theta_0) \! dengan \alpha\! adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan \omega_0\! adalah kecepatan sudut mula-mula. Persamaan parametrik Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan terlebih dahulu mendefinisikan: titik awal gerakan dilakukan (x_0,y_0)\! kecepatan sudut putaran \omega\! (yang berarti suatu GMB) pusat lingkaran (x_c,y_c)\! untuk kemudian dibuat persamaannya [2]. Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan R\! yang diperoleh melalui: R = \sqrt{(x_0 - x_c)^2 + (y_0 - y_c)^2} \! Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan, yaitu x(t) = x_c + R cos(\omega t + \phi_x) \! y(t) = y_c + R sin(\omega t + \phi_y) \! dengan dua konstanta \phi_x \! dan \phi_y \! yang masih harus ditentukan nilainya. Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai (x_0,y_0)\!, maka dapat ditentukan nilai \phi_x \! dan \phi_y \!: \phi_x = \arccos \left( \frac{x_0 - x_c}{R} \right)\! \phi_y = \arcsin \left( \frac{y_0 - y_c}{R} \right)\! Perlu diketahui bahwa sebenarnya \phi_x = \phi_y \! karena merupakan sudut awal gerak melingkar. Hubungan antar besaran linier dan angular Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan angular dapat dengan mudah diturunkan. Kecepatan tangensial dan kecepatan sudut Kecepatan linier total dapat diperoleh melalui v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka v_T = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} dengan v_x = \dot{x} = \frac{dx}{dt} v_y = \dot{y} = \frac{dy}{dt} diperoleh v_x = -\omega R \sin(\omega t + \phi_x) \! v_y = \omega R \cos(\omega t + \phi_x) \! sehingga v_T = \sqrt{(-\omega)^2 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x) + \omega^2 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x)}\! v_T = \omega R \sqrt{\sin^2(\omega t + \phi_x) + \cos^2(\omega t + \phi_x)}\! v_T = \omega R\! Percepatan tangensial dan kecepatan sudut Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, percepatan linier total dapat diperoleh melalui a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka a_T = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} dengan a_x = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} a_y = \ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2} diperoleh a_x = -\omega^2 R \cos(\omega t + \phi_x) \! a_y = -\omega^2 R \sin(\omega t + \phi_x) \! sehingga a_T = \sqrt{(-\omega)^4 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x) + \omega^4 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x)}\! a_T = \omega^2 R \sqrt{\cos^2(\omega t + \phi_x) + \sin^2(\omega t + \phi_x)}\! a_T = \omega^2 R\! Kecepatan sudut tidak tetap Persamaan parametric dapat pula digunakan apabila gerak melingkar merupakan GMBB, atau bukan lagi GMB dengan terdapatnya kecepatan sudut yang berubah beraturan (atau adanya percepatan sudut). Langkah-langkah yang sama dapat dilakukan, akan tetapi perlu diingat bahwa \omega \rightarrow \omega(t) = \int \alpha dt = \omega_0 + \alpha t \! dengan \alpha\! percepatan sudut dan \omega_0\! kecepatan sudut mula-mula. Penurunan GMBB ini akan menjadi sedikit lebih rumit dibandingkan pada kasus GMB di atas. Persamaan parametrik di atas, dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu: x(t) = x_c + R \cos \theta \! y(t) = y_c + R \sin \theta \! di mana \theta = \theta(t) \! adalah sudut yang dilampaui dalam suatu kurun waktu. Seperti telah disebutkan di atas mengenai hubungan antara \theta \!, \omega \! dan \alpha \! melalui proses integrasi dan diferensiasi, maka dalam kasus GMBB hubungan-hubungan tersebut mutlak diperlukan. Kecepatan sudut Dengan menggunakan aturan rantai dalam melakukan diferensiasi posisi dari persamaan parametrik terhadap waktu diperoleh v_x(t) = - R \sin \theta\ \frac{d\theta}{dt} = - \omega(t) R \sin \theta \! v_y(t) = R \cos \theta \ \frac{d\theta}{dt} = \omega(t) R \cos \theta \! dengan \frac{d\theta}{dt} = \omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \! Dapat dibuktikan bahwa v(t) = v_T(t) = \sqrt{v_x^2(t) + v_y^2(t)} = \omega(t) R \! sama dengan kasus pada GMB. Percepatan total Diferensiasi lebih lanjut terhadap waktu pada kecepatan linier dapat memberikan yang dapat disederhanakan menjadi Selanjutnya yang umumnya dituliskan dengan yang merupakan percepatan sudut, dan yang merupakan percepatan sentripetal. Suku sentripetal ini muncul karena benda harus dibelokkan atau kecepatannya harus diubah sehingga bergerak mengikuti lintasan lingkaran. Gerak berubah beraturan Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan